Số nguyên tố là những số chỉ có hai ước số , vì chúng chỉ chia hết cho chính nó và cho 1, tức là số 1. Nhưng hãy cẩn thận! Chúng chia hết cho cả số dương và số âm. Điều này có nghĩa là gì? Rất đơn giản. Một số nguyên tố, ví dụ như 2, chỉ có thể chia hết cho 2, -2, 1 và -2.
Những số có nhiều hơn hai ước số được gọi là số hợp số . Ví dụ, nếu ta lấy một số hợp số, chẳng hạn như 10, ta thấy rằng ta có thể chia hết cho chính nó và cho 1, tức là chia hết cho 10 và cho 2, nhưng cũng có thể chia hết cho 2 và cho 5. Vì vậy, 10 là một số hợp số.
Tất cả các số là số nguyên tố hay hợp số?
Có hai số "đặc biệt" không phải là số nguyên tố cũng không phải là số hợp số: 0 và 1. Tại sao? Hãy cùng tìm hiểu:
- Số 1 có thể chia cho chính nó (1/1 = 1) và thống nhất, tức là số 1 (1/1 = 1). Tuy nhiên, để một số được coi là số nguyên tố thì nó phải có 2 ước số khác nhau. Số 1 chỉ có một ước số nên nó không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.
- Không thể chia số 0 cho chính nó, vì kết quả là không xác định.
Vì vậy, nếu chúng ta loại bỏ 0 và 1 khỏi danh sách, ra khỏi số lớn các số còn lại, làm thế nào chúng ta biết được số nào là số nguyên tố và số nào không phải là số nguyên tố?
Làm thế nào để biết một số có phải là số nguyên tố hay không
Điều bình thường nhất là nghĩ về việc thực hiện nó bằng cách loại bỏ, tức là cố gắng tìm các ước số. Với máy tính thì khá nhanh, nhưng nếu chúng ta phải làm ngược lại hoặc với bút và giấy, mọi thứ sẽ hơi phức tạp. Chúng tôi dạy bạn hai phương pháp để biết một số có phải là số nguyên tố hay không.
Rây của Eratosthenes
Phương pháp sàng Eratosthenes là một kỹ thuật để tìm các số nguyên tố nằm giữa 2 , là số nguyên tố đầu tiên, và một số nhất định.
Phương pháp này bao gồm lập một bảng và gạch bỏ bội số của các số nguyên. Đầu tiên, chúng ta sẽ loại bỏ bội số của 2, sau đó là 3, và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi chúng ta đạt được số bình phương lớn hơn số cuối cùng trong bảng.
Giống như mọi thứ trong toán học, sàng Eratosthenes được hiểu rõ nhất với một ví dụ:
- Chúng tôi lập một bảng với các số từ 2 đến 30.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Chúng tôi gạch bỏ bội số của 2 khỏi danh sách, tức là chúng tôi gạch bỏ từ 2 đến 2: 4, 6, v.v. Coi chừng! Số 2, chỉ có thể chia cho chính nó và số 1, chúng tôi không gạch bỏ nó, vì nó là một số nguyên tố.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | |||||
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | |||||
| 21 | 23 | 25 | 27 | 29 |
- Chúng tôi lấy số tiếp theo, 3 và kiểm tra xem bình phương nhỏ hơn số lớn nhất trong bảng. Như 32 <30, chúng ta tiếp tục với cái sàng và gạch bỏ các bội của nó: 6, 9, 12 ... Như ở bước trước, chúng ta không gạch bỏ số 3, cũng là số nguyên tố.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 25 | 29 |
- Chúng tôi lặp lại bước trước với số tiếp theo trong bảng: 4 bị gạch bỏ, vì vậy chúng tôi lấy 5. Như 52 <30, chúng tôi gạch bỏ bội số của chúng.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 29 |
- Chúng ta tiếp tục với số sau mà không gạch bỏ: 7. Như 72 = 49, tức là bình phương của 7 lớn hơn số cuối cùng trong bảng, phương thức kết thúc và các số không bị gạch bỏ là số nguyên tố.
- Phần kết luận. Các số nguyên tố từ 2 đến 30 là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 và 29.
Phương pháp sàng Eratosthenes là một cách nhanh chóng và dễ dàng để tìm số nguyên tố, nhưng nếu số chúng ta muốn nghiên cứu rất lớn , ví dụ như 54657 thì sao?
Như bạn có thể tưởng tượng, việc lập bảng chia hết từ 2 đến 54657 sẽ không thực tế lắm, đúng không? Vậy chúng ta có thể làm gì? Rất đơn giản: sử dụng các quy tắc chia hết.
Tiêu chí phân chia
Tiêu chí chia hết là các quy tắc để xác định xem một số có chia hết cho số khác hay không mà không cần thực hiện phép chia.
Vì vậy, nếu chúng ta sử dụng các quy tắc này và quan sát thấy một số chia hết cho một số khác không phải chính nó và đơn vị, chúng ta sẽ biết rằng nó không phải là số nguyên tố.
- Tiêu chí chia hết của số 2. Một số chia hết cho 2 nếu nó là số chẵn, nghĩa là, nếu nó kết thúc bằng 0, 2, 4, 6 hoặc 8. Và đây là một mẹo: giống như bất kỳ số nào chia hết cho 4, 6 hoặc 8 cũng chia hết cho 2, chúng ta sẽ không cần biết tiêu chuẩn chia hết của các số chẵn khác.
- Tiêu chuẩn về tính chất chia hết của số 3. Một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của nó là bội của ba. Hãy xem một ví dụ:
267 -> 2 + 6 + 7 = 15
Vì 15 là bội của 3 nên 267 chia hết cho 3.
Ngoài ra, vì mọi số chia hết cho 9 cũng chia hết cho 3 nên ta chỉ cần biết tiêu chí này là đủ.
- Tiêu thức chia hết của số 5. Một số chia hết cho 5 nếu nó kết thúc bằng 0 hoặc 5.
- Tiêu thức tính chất chia hết của số 7. Muốn biết một số có chia hết cho 7 hay không, ta phải trừ số không có chữ số tận cùng và gấp đôi chữ số tận cùng. Nếu số thu được là 0 hoặc bội của 7, số ban đầu chia hết cho 7. Bạn sẽ hiểu rõ hơn điều này với một ví dụ, hãy bắt đầu với nó!
378 -> 37 − (8 × 2) = 37 − 16 = 21
Vì 21 là bội của 7 nên 378 chia hết cho 7.
- Tiêu chuẩn về tính chất chia hết của số 11. Nếu chúng ta trừ tổng của các số chẵn và tổng các số lẻ, và số thu được là 0 hoặc bội của 11, điều đó có nghĩa là số đã học chia hết cho 11. Đây là một ví dụ:
8591 -> (8 + 9) − (5 + 1) = 17 − 6 = 11
Vì 11 là bội của 11 nên 8591 chia hết cho 11.
Và đó là tất cả! Bây giờ đến lượt bạn: bạn đã biết cách tính số cao đó, 54657, có phải là số nguyên tố không?
Danh sách các số nguyên tố từ 1 đến 10.000
Cuối cùng, nếu bạn đang tìm kiếm danh sách các số nguyên tố từ 1 đến 10.000, chẳng hạn như 1 đến 100 hoặc 1 đến 1.000, đây là danh sách đầy đủ và được cập nhật:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919
